문제

계단 오르기 게임은 계단 아래 시작점부터 계단 꼭대기에 위치한 도착점까지 가는 게임이다. 각각의 계단에는 일정한 점수가 쓰여 있는데 계단을 밟으면 그 계단에 쓰여 있는 점수를 얻게 된다.

계단 오르는 데는 다음과 같은 규칙이 있다.

1. 계단은 한 번에 한 계단씩 또는 두 계단씩 오를 수 있다. 즉, 한 계단을 밟으면서 이어서 다음 계단이나, 다음 다음 계단으로 오를 수 있다.
2. 연속된 세 개의 계단을 모두 밟아서는 안 된다. 단, 시작점은 계단에 포함되지 않는다.
3. 마지막 도착 계단은 반드시 밟아야 한다.

따라서 첫 번째 계단을 밟고 이어 두 번째 계단이나, 세 번째 계단으로 오를 수 있다. 하지만, 첫 번째 계단을 밟고 이어 네 번째 계단으로 올라가거나, 첫 번째, 두 번째, 세 번째 계단을 연속해서 모두 밟을 수는 없다.

각 계단에 쓰여 있는 점수가 주어질 때 이 게임에서 얻을 수 있는 총 점수의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

• 입력의 첫째 줄에 계단의 개수가 주어진다.

  둘째 줄부터 한 줄에 하나씩 제일 아래에 놓인 계단부터 순서대로 각 계단에 쓰여 있는 점수가 주어진다. 계단의 개수는 300이하의 자연수이고, 계단에 쓰여 있는 점수는 10,000이하의 자연수이다.

출력

• 첫째 줄에 계단 오르기 게임에서 얻을 수 있는 총 점수의 최댓값을 출력한다.

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1. 해결방법 및 소스코드

• Dynamic Programming (동적 프로그래밍, 동적 계획법)을 활용하여 점화식을 구한 후 해결했다.
• n번째 계단을 밟았을 때까지의 얻은 점수의 최댓값을 dp[n]이라고 하면, 다음과 같은 점화식이 성립한다.

$\begin{cases}dp[0] = score[0]\\dp[1] = score[0] + score[1]\\dp[2] = \text{max }(score[0] + score[2], score[1] + score[2])\\dp[n(n \geq 3)] = \text{max }(dp[n-2] + score[n], dp[n-3] + score[n-1] + score[n])\end{cases}$

• 계단을 3개 연달아 오를 수 없기 때문에, 최종적으로 n번째 계단에서 점수의 최대값은
  n-2번째까지 올랐을 때 점수의 최대값 + 현재 계단의 점수 vs n-3번째까지 올랐을 때 점수의 최대값 + n-1번째 계단의 점수 + 현재 계단의 점수가 되겠다.

#include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; int main() { int N, x; vector<int> scores; scanf("%d", &N); for (int i = 0; i < N; i++) { scanf("%d", &x); scores.push_back(x); } vector<int> dp(N); dp[0] = scores[0]; dp[1] = scores[0] + scores[1]; dp[2] = max(scores[0] + scores[2], scores[1] + scores[2]); for (int i = 3; i < N; i++) { dp[i] = max(dp[i - 2] + scores[i], dp[i - 3] + scores[i - 1] + scores[i]); } printf("%d\n", dp[N - 1]); }